《信号与系统》期末复习
Yanxu Chen, June 6th, 2024
参考：
《信号与系统》课件，2024春，谷源涛
《信号与系统》，郑君里
感谢：李国林（~~Emperor of Electronic Circuit~~），吴昊（~~Emperor of Mathematics~~）
目录：
第5章 傅里叶变换应用于通信系统（后半部分）
1. 系统的物理可实现性与佩利-维纳准则
时域判断：因果性
频域判断：
首先有平方可积条件：
根据帕塞瓦尔定理：
佩利-维纳准则（必要不充分条件）：
不满足 PW 准则的幅度函数，响应比冲激激励先出现，违反了因果性。
PW 准则不允许 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\) 在某一频带内恒为0（理想滤波器不可能实现），但允许在一些不连续的点为0。
对数函数 \(\ln()\) 限制了 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\to 0\) 的衰减速度。
PW 准则不是物理可实现的充分条件，因为对相频特性 \(\varphi(\omega)\) 没有要求。如果已知一个满足 PW 准则的 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\) ，可以搭配一个适当的相频特性函数 \(\varphi(\omega)\) ，使系统物理可实现。
实际上只有多项式函数和双曲函数满足 PW 准则。
2. 希尔伯特变换研究系统的约束特性
对于一个因果稳定的系统有：
实部是虚部的 Hilbert 变换，虚部是实部的 Hilbert 逆变换。
可见实部与虚部相互约束，二者可以互相确定，两者不能任意给定。
另外，对于一个最小相移函数， \(\ln|H(\mathrm{j}\omega)|\) 与 \(\varphi(\omega)\) 也相互约束。
3. 调制与解调
SC-AM（抑制载波调幅）
调制信号（基带信号） \(g(t)\) ，频谱 \(G(\omega)\) 占据有限频带 \(-\omega_m\sim \omega_m\) 。
已调信号 \(f(t)=g(t)\cos(\omega_0t)\) ，把 \(g(t)\) 频谱搬移到 \(\pm\omega_0\) 上，且分成两部分，各占1/2。
解调：从已调信号 \(f(t)\) 恢复出基带信号 \(g(t)\) 需要用本地载波 \(\cos(\omega_0t)\) ，使频谱 \(F(\omega)\) 左右移动，经过低通滤波器（带宽大于 \(\omega_m\)，小于 \(2\omega_0-\omega_m\)）之后取出 \(G(\omega)\) ，但能量变为原来的一半。 $$ \begin{align} g_0(t) &= f(t)\cos(\omega_0 t)=g(t)\cos^2(\omega_0 t)=\frac{1}{2}g(t)(1+\cos(2\omega_0 t)) \ \implies G_0(\omega) &= \frac{1}{2}G(\omega)+\frac{1}{4}[G(\omega+2\omega_0)+G(\omega-2\omega_0)] \end{align} $$ 注意：\(f(t)\) 的频域 \(F(\omega)=\frac{1}{2}G(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}G(\omega+\omega_0)\) 不含载波的频谱 \(\delta(\omega)\) 。
缺点：解调使用的本地载波需要与发送端相同，接收机较为复杂。
AM（调幅）
不需要本地载波，接收机简单，适用于日常使用，但是发射功率大，价格较贵。卫星上有应用。 $$ f(t)=[A+g(t)]\cos(\omega_0 t) $$ 其中 \(K=1/A\) 为调制深度。
\(A\) 足够大时，\(f(t)\) 的波形包络就是 \(A+g(t)\) ，使用包络检测器（二极管、电容、电阻）即可恢复。
SSB（单边带）
从中间切开。
为节省频带，只发半个边带，由于频移特性，在收端能恢复。多用于短波通信、跳频电台等。
优点是节省频带，多容纳电台。但“陡峭的”边带滤波器不易制作，所以适用于信号中无直流成分且缺少一段低频成分，此时对边带滤波器的要求放宽。
VSB（残留边带）
斜着切。
FM，PM（调频与调相）
FM（调频），直接作用于相位： \(f(t)=A\cos(\omega_c t+g(t))\) 。
PM（调相），直接作用于频率： \(f(t)=A\cos(\omega_c t+\int_{-\infty}^{t}g(\tau)\,\mathrm{d}\tau)\) 。
本质都是调相。
解调过程：对 \(f(t)\) 求导，进行包络检波。
FDM（频分复用）
对于不同的信号，调制和解调使用不同的 \(\cos(\omega_n t)\) ，在频域上占用不同的频率区间，互不干扰。
另有：时分复用，不同的信号占用不同的时间区间，互不干扰。依据为抽样定理，相当于在时域抽样，频域周期延拓，满足奈奎斯特抽样频率的前提下可以分离信号。实际传送的信号并非冲激抽样，可以占有一小段时间。
4. 从抽样信号恢复连续时间信号
-
冲激抽样信号恢复连续时间信号（常规）：时域抽样——频域周期延拓——低通滤波器——恢复。
-
零阶抽样保持：
脉冲信号 \(p(t)\) 对信号 \(f(t)\) 抽样时，保持样本值到下一次抽样为止，抽样输出信号 \(f_s(t)\) 呈阶梯形状。
- 一阶抽样保持：
使用一个冲激响应为三角型脉冲的 LTI 系统，使得由抽样信号 \(f_s(t)\) 经过该系统形成的三角脉冲叠加恢复出 \(f(t)\) 。
零阶抽样保持和一阶抽样保持都是对第一种方法的逼近。
上述三种方法都要求信号 \(f(t)\) 频带受限，且抽样频率满足抽样定理要求。
具体内容可以看书。
第6章 信号的矢量空间
1. 基本概念
~~范数，赋范空间~~
1-范数：信号的作用强度（信号作用对时间的累积）
2-范数：信号的能量
\(\infty\)-范数：信号的幅度/峰值
对于能量无限大的信号，功率定义为： $$ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t $$ 功率的平方根：方均根值（rms）
平均值/直流分量： $$ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,\mathrm{d}t $$ ~~内积，内积空间~~
内积性质的例子： $$ \left\langle x,y \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^(t)\,\mathrm{d}t \ \left\langle x,y \right\rangle = \left\langle y,x \right\rangle ^ \ \left\langle x,x \right\rangle = ||x||_2^2 \ |\left\langle x,y \right\rangle|^2 \leqslant \left\langle x,x \right\rangle \cdot \left\langle y,y \right\rangle $$
2. 正交函数分解
~~正交矢量，正交函数~~
对于两个矢量 \(x,y\) ，用 \(cy\) 逼近 \(x\) ，误差最小的为： $$ c=\frac{\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle} $$
推广到函数，在区间 \(t_1<t<t_2\) 内用 \(f_2(t)\) 近似表示 \(f_1(t)\) ：\(f_1(t)\approx c_{12}f_2(t)\)
方均误差（误差的方均值）： $$ \overline{\epsilon^2}=\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}[f_1(t)-c_{12}f_2(t)]^2\,\mathrm{d}t $$ 方均误差最小（对 \(c_{12}\) 的二阶导为0），有： $$ \begin{align} c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2^2(t)\,\mathrm{d}t} \end{align} $$ 正交的等价条件为： $$ \int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t=0 $$ 对于复变量函数，上面条件变为： $$ \begin{align} c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2(t)f_2^(t)\,\mathrm{d}t} \end{align} $$
3. 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理
帕塞瓦尔方程： $$ \int_{t_1}^{t_2} f^2(t)\,\mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}c_r^2K_r $$ 一个信号的功率等于它在完备正交函数集中各分量的功率之和。这体现了正交函数的范数不变性 / 内积不变性。
4. 相关
功率信号与能量信号
对于能量信号，能量有限： $$ \begin{align} E &= \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t \ &= \int_{-\infty}^{\infty} f^2(t)\,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \end{align} $$ 对于功率信号，能量无限，平均功率有限： $$ \begin{align} P &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2 \,\mathrm{d}t \ &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f^2(t) \,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \end{align} $$ 有些信号既不属于能量信号，也不属于功率信号，比如 \(f(t)=e^t\) 。
对于能量信号，有相关系数（类似于矢量的夹角）： $$ \rho_{12}=\frac{\left\langle f_1,f_2 \right\rangle}{||f_1||_2 \cdot ||f_2||_2} $$
相关函数
复变量表示的相关函数，其中 \(\tau\) 为两个信号的时差。实函数将共轭去掉即可。
对于能量信号： $$ \begin{align} R_{12}(\tau) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2^(t-\tau)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t+\tau)f_2^(t)\,\mathrm{d}t \ R(\tau) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^(t-\tau)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^(t)\,\mathrm{d}t \end{align} $$ 对于功率信号： $$ \begin{align} R_{12}(\tau) &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f_1(t)f_2^(t-\tau) \,\mathrm{d}t =\lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f_1(t+\tau)f_2^(t-) \,\mathrm{d}t \ R(\tau) &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)f^(t-\tau) \,\mathrm{d}t =\lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t+\tau)f^(t) \,\mathrm{d}t \end{align} $$ 性质——共轭反对称： \(R_{12}(\tau)=R_{21}^*(-\tau),\quad R(\tau)=R^*(-\tau)\) 。
特别地，对于实函数有： \(R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau),\quad R(\tau)=R(-\tau)\) ，自相关函数为偶函数。
周期信号的自相关函数也为周期函数，且周期相同。
与卷积的比较
相关与卷积的关系：卷积要“反褶 + 移位 + 积分”，相关仅为“移位 + 积分”，不用反褶。 $$ R_{12}(\tau) = f_1(t)f_2(t) \ R(\tau) = f(t)f(-t) $$ 对于实偶函数，卷积和相关结果相同。
相关定理
若有 $ \mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega),\ \mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega) $ ，则有： $$ \mathscr{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(\omega)\cdot F_2^(\omega) \ \mathscr{F}[R(\tau)] = F(\omega)\cdot F^(\omega)=|F(\omega)|^2 $$
若 \(f_2(t)\) 为实偶函数， \(F_2(\omega)\) 为实函数，则与卷积定理结果相同。
能量谱和功率谱
能谱：
能量信号，自相关函数在0处的取值 = 时域 \(f^2(t)\) 覆盖的面积 = 频域 \(|F_1(f)|^2\) 覆盖的面积，时域能量等于频域能量： $$ R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}|F_1(f)|^2\,\mathrm{d}f $$ 定义能量谱密度/能谱，反映了单位带宽内的能量： $$ \mathscr{E}(\omega) = |F(\omega)|^2 \ \implies \mathscr{E}(\omega) = \mathscr{F}[R(\tau)] \ E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}(\omega)\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}_1(\omega)\,\mathrm{d}\omega $$ 自相关函数和能谱函数是一对 Fourier 变换对。
功率谱： $$ \mathscr{P}(\omega) = \lim_{T\to\infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T} \ \implies \mathscr{P}(\omega) = \mathscr{F}[R(\tau)] \ P = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{P}(\omega)\,\mathrm{d}\omega $$ 自相关函数和功率谱函数是一对 Fourier 变换对。（维纳-欣钦关系）
注意：能量信号和功率信号的自相关函数单位不同， 因此能量谱和功率谱的单位也不同，相差时间单位。
线性系统的自相关函数与能量谱、功率谱
在频域，我们有：
能量信号： \(\mathscr{E}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathscr{E}_e(\omega)\)
功率信号： \(\mathscr{P}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathscr{P}_e(\omega)\)
变换到时域，二者共同有： \(R_r(\tau)=R_e(\tau)*R_h(\tau)\)
5. 匹配滤波器
使有用信号 \(s(t)\) 增强，抑制噪声 \(n(t)\) 。信号和噪声同时进入滤波器，如果在某段时间内信号 \(s(t)\) 存在，滤波器的输出在相应的瞬间出现强大的峰值。
有用信号 \(s(t)\) 持续时间有限，为 \(0 \sim T\) ，则匹配滤波器的冲激响应为 \(h(t)=ks(t_m-t)\)
考虑到系统因果可实现（\(t_m\geqslant T\)）+ 观察时间 \(t_m\) 尽可能小（\(t_m=T\)） + 取系数 \(k\) 为1，得到：\(h(t)=s(T-t)\) 。
输出为 \(s_o(t)=s(t)*h(t)=s(t)*s(T-t)=R_{ss}(t_T)\) 。
匹配滤波器相当于对 \(s(t)\) 进行自相关运算，在 \(t=T\) 的时刻取得自相关函数的峰值，峰值大小等于信号 \(s(t)\) 的能量 E，且仅与能量有关，与波形无关。
自相关函数的峰值在原点取到： \(R_{ss}(0)\geq R_{ss}(\tau)\) ，并且等于信号的能量，有时差之后取值会减少。
第7章 离散时间系统的时域分析
1. 序列和离散时间系统的数学模型
离散时间信号——序列 \(x(n)\) 。对应某序号 \(n\) 的函数值称为样值。
序列之间加减乘除、延时（右移）、左移、反褶、尺度倍乘（波形压缩、扩展）、差分、累加。
\(x(an)\) 波形压缩， \(x(\frac{x}{n})\) 波形扩展，这时可能要按规律去除某些点或补足0值。
典型序列：
- 单位样值信号： \(\delta(n)\) 。
- 单位阶跃序列： \(u(n)\) 。
- 矩形序列： \(R_N(n)=u(n)-u(n-N)\) ，有 \(0 \sim N-1\) 的 \(N\) 个值，或 \(R_N(n-m)=u(n-m)-u(n-m-N)\) ，有 \(m \sim m+N-1\) 的 \(N\) 个值。
- 斜变序列： \(x(n)=nu(n)\) ，显然有 \(u(n)=x(n)-x(n-1)\) 。
- 指数序列： \(x(n)=a_n u(n)\) 。
- 正弦序列：\(x(n)=\sin(n\omega_0)\) ，不一定有周期 \(T\) ，但是有频率 \(\omega_0\) 。
\(\delta(n),\ u(n),\ nu(n)\) 仍然有差分关系： \(\delta(n)=u(n)-u(n-1),\ u(n)=nu(n)-(n-1)u(n-1)\) 。
系统方框图： \(1/E\) 代表单位延时。
2. 常系数线性差分方程
差分方程：
阶数=未知序列变量序号的极差
前向差分方程，表现为 \(x(n-\cdots),\ y(n-\cdots)\) 。
后向差分方程，表现为 \(x(n+\cdots),\ y(n+\cdots)\) 。
差分方程的解法：
- 迭代法。
- 时域分解法，齐次解 + 特解，对应自由响应 + 强迫响应。
- 求零输入响应 + 零状态响应，用求齐次解的方法（激励置为0）得到零输入响应，用卷积和（或边界条件全置0）求零状态响应。
- z 变换法（下一章）。
3. 单位样值响应、卷积和
单位样值响应 \(h(n)\) ：因为只在0处去非0值可以通过迭代求出。
对于离散的 LTI 系统：因果 \(\iff h(n)=h(n)u(n)\) 单边，稳定 \(\iff \sum_{m=-\infty}^{\infty}|h(n)|\leqslant M\) 绝对可和。
利用单位样值响应+卷积和求系统响应： $$ y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)h(n-m) $$ 有限长序列可以快速求卷积：对位相乘求和，再不断移动。
性质：交换，分配，结合，筛选（与冲激序列卷积）。
查表：课本 P34，表 7-1 常见序列的卷积和
解卷积 / 反卷积：矩阵运算（这肯定不会考吧...但是第8章的课后习题 8-20 介绍了一种很简单的方法）。
第8章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
1. z 变换定义
抽样信号的 Laplace 变换： $$ X_s(s)=\sum_{n=0}^{\infty} x(nT)e^{-snT} \ z=e^{sT},\quad s=\frac{1}{T}\ln z \ T=1 \implies X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} $$ 也可以由洛朗级数引出（~~又到了最喜欢的复变~~）。
单边 z 变换： $$ X(z)=\mathscr{Z}[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} $$ 双边 z 变换： $$ X(z)=\mathscr{Z}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $$ z 为复变量。因果信号的单边与双边 z 变换相同。
查表：附录5 序列的 z 变换表
2. z 变换的收敛域 ROC
不同序列的 z 变换可能相同。如 \(a^nu(n), \ -a^nu(-n-1)\) 。
每一个 z 变换式要标注 ROC。在 ROC 内 z 变换函数解析，因此 ROC 内不会有极点。有理函数以 ROC 以极点为边界。
收敛的充分条件是绝对可和： \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}<\infty\) ，回忆级数收敛的判定方法——比值判定和根植判定： $$ \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho \ \lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{|a_n|}=\rho \ \rho<1\ 收敛, \quad \rho>1\ 发散\, \quad \rho=1\ 不确定 $$ （课本 P53，表8-1）对于双边 z 变换，序列的 ROC：
- 有限长序列：几乎为整个平面。
（1）原点左右均有， \(0<|z|<\infty\) 。
（2）原点及其右边， \(0<|z|\) 。
（3）原点及其左边， \(|z|<\infty\) 。
有限长序列，求和范围里有 \(n>0\) 的项，ZT 中会含有 \(\frac{1}{z}\) ，因此 ROC 不包含 \(z=0\) 。
求和范围里有 \(n<0\) 的项，ZT 中会含有 \(z\) 的乘方，因此 ROC 不包含 \(z=\infty\) 。
- 右边序列：圆外（z 要足够大，抑制序列的增长）。
（1）包含原点，有原点左边的部分（非因果）， \(R_{x1}<|z|<\infty\) 。
（2）原点及其右边（因果）， \(R_{x1}<|z|\) 。
- 左边序列：圆内（1/z 要足够大，抑制序列的增长）。
（1）包含原点，有原点右边的部分， \(0<|z|<R_{x2}\) 。
（2）原点及其左边， \(z<R_{x2}\) 。
- 双边序列：圆环， \(R_{x1}<|z|<R_{x2}\) 。
3. 逆 z 变换
定义式（可以救急用）： $$ x(n)=\mathscr{Z}^{-1}[X(z)] =\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_C X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z $$
积分路径 C 是包含 \(X(z)z^{n-1}\) 所有极点的逆时针闭合曲线，通常选择 z 平面收敛域内以原点为中心的圆。
围线积分法（留数法）：坏
幂级数展开法（长除法）：坏
部分分式展开法：好 $$ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_0+b_1z+\cdots+b_{r-1}z^{r-1}+b_rz^r}{a_0+a_1z+\cdots+a_{k-1}z^{k-1}+a_kz^k} $$ 因果序列的 z 变换 ROC 在圆外，为保证在无穷远处收敛，分母多项式阶次应不小于分子多项式。
大多数情况 \(X(z)\) 下只有一阶极点，将 \(\frac{X(z)}{z}\) 展开为 \(\frac{z}{z-z_m}\) 的形式： $$ \frac{X(z)}{z} = \sum_{m=0}^K \frac{A_m}{z-z_m} \ X(z) = \sum_{m=0}^K \frac{A_m z}{z-z_m}=A_0+\sum_{m=1}^K \frac{A_m z}{z-z_m} \ A_m = \rm{Res}[\frac{X(z)}{z}]{z=z_m}=\bigg[(z-z_m)\frac{X(z)}{z}\bigg]{z=z_m} \ A_0 = [X(z)]{z=0}=\frac{b_0}{a_0} $$ 如果有高阶极点： $$ X(z)=A_0+\sum{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{B_j z}{(z-z_i)^j} \ X(z)=A_0+\sum_{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{C_j z^j}{(z-z_i)^j} \ C_s=\bigg[(\frac{z-z_i}{z})^sX(z)\bigg]_{z=z_i} $$
部分分式展开要多练习（）
查表：课本P61，表8-2 逆 z 变换表
5. z 变换的性质
查表：课本 P74，表8-5 z 变换的主要性质
（1）线性。
（2）时移特性。
对于双边 z 变换，位移只会使 z 变换在 \(z=0\) 或 \(z=\infty\) 的零极点情况发生变化。若 \(x(n)\) 为双边序列，ROC 为圆环，位移不会改变 ROC。
对于单边 z 变换，分左移和右移两情况。左移需要把将要移到左边的那部分减掉，右移需要把原来“藏”在左边的部分加上来。对因果序列也有特殊讨论。
（3）序列线性加权，z 域微分。
（4）序列指数加权，z 域尺度变换。
（5）初值定理。
（6）终值定理。要求 \(n\to\infty\) 的时候序列 \(x(n)\) 收敛，也就是 \(X(z)\) 的极点在单位圆内，或者 \(z=+1\) 点处的一阶极点。
（7）时域卷积，z 域相乘。一般情况下新序列 ROC 为二者 ROC 的重叠部分，但是有可能 ROC 边缘发生零极点相消，使 ROC 扩大。
（8）序列相乘，z 域卷积。（不要求）
（9）尺度变换性质，这个在郑版课本、 ggg 课件 和 yz 的课件中均未提及。但是2020年期末考试中出过这样一道题： \(x(2n+1)\) 的双边 z 变换。
我们可以直接推导（经过 ggg 验证）： $$ \begin{align} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \ X(z^{\frac{1}{T}})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-\frac{n}{T}} \ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(mT)z^{-m} \ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)z^{-n} \ \implies \mathscr{Z}[x(nT)]&=X(z^{\frac{1}{T}}) \end{align} $$
6. z 变换与 Laplace 变换的关系
ZT 和 LT 表达式的对应：可以直接由 LT 表达式写出 ZT 表达式 $$ \frac{A_i}{s-p_i} \implies \frac{A_i}{1-e^{p_iT}z^{-1}}=\frac{A_iz}{z-e^{p_iT}} $$ 用这个可以推导出正弦序列的 z 变换。
（在某些点发生跳变似乎要单独讨论......但这似乎不重要）
z 平面与 s 平面的映射关系：（T 为序列的时间间隔） $$ z=e^{sT},\quad s=\frac{1}{T}\ln z \ \omega_s=\frac{2\pi}{T} \ s=\sigma+\mathrm{j}\omega \ z=re^{\mathrm{j}\theta} \ \implies r=e^{\sigma T}=e^{\frac{2\pi\sigma}{\omega_s}} \ \theta =\omega T=2\pi\frac{\omega}{\omega_s} $$ s 平面的虚轴对应 z 平面单位圆，右半平面映射到单位圆外，左半平面一个射到单位圆内。
s 平面的实轴对应 z 平面正实轴，s 平面平行于实轴的直线对应 z 平面始于原点的射线，且通过 \(\mathrm{j}\frac{k\omega_s}{2}\) 的平行于实轴的直线对应 z 平面的负实轴。
s 平面沿虚轴移动，z 平面上绕单位圆周期旋转。每平移 \(\omega_s\) ，沿单位圆绕一圈，因此一个 z 值对应多个 s 值。
查表：课本 P80，表8-7 常用信号的 LT 与 ZT
7. 利用 z 变换解差分方程
幂级数展开（长除法）、卷积定理（分解为相乘形式，在时域卷积）、留数法（不用）。
8. 离散系统的系统函数
单位样值响应 \(h(n)\) 与系统函数 \(H(z)\)
LTI 系统，单位样值响应 \(h(n)\) 与系统函数 \(H(z)\) 是一对 z 变换对： $$ Y(z)=H(z)X(z) \ y(n)=h(n)*x(n) \ \implies H(z)=\mathscr{Z}[h(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n} $$ 可以根据系统函数的零极点分布确定单位样值响应。
展开为部分分式： $$ \begin{align} h(n) &= \mathscr{Z}[H(z)]=\mathscr{Z}^{-1}\bigg[ \sum_{k=0}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \bigg] \ &= \mathscr{Z}^{-1}\bigg[ A_0+\sum_{k=1}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \bigg] \ &= A_0\delta(n)+\sum_{k=1}^N A_k(p_k)^n u(n) \end{align} $$ 极点 \(p_k\) 一般以共轭复数形式出现。可见 \(h(n)\) 的特性取决于 \(H(z)\) 的极点，幅度由系数 \(A_k\) 决定，而系数 \(A_k\) 由 \(H(z)\) 的零点分布有关。与 LT 类似， \(H(z)\) 的极点决定 \(h(n)\) 的波形特征，零点只影响 \(h(n)\) 的幅度和相位。
“大圆图”，课本 P86
从 z 域考察离散时间系统的因果性和稳定性
系统稳定的充要条件是单位样值响应 \(h(n)\) 绝对可和： $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<M \ H(z)\bigg|{z=1}=\sum{n=-\infty}^{\infty}h(n) $$ 因此稳定系统的系统函数 ROC 包含单位圆在内。
系统因果的条件： \(h(n)=h(n)u(n)\) ，z 变换的 ROC 为圆外且包含无穷远点。
综上，因果稳定的系统应该同时满足： $$ \begin{cases} a<|z|<\infty \ a<1 \ \end{cases} $$ 这也限制了所有极点都在单位圆内。
9. 序列的傅里叶变换（DTFT）
单位圆上的 z 变换。注意与离散傅里叶变换 DFT 完全不同！
定义、收敛条件
又有： $$ X(e^{\mathrm{j}\omega})=|X(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} =\mathrm{Re}[X(e^{\mathrm{j}\omega})]+\mathrm{j}\mathrm{Im}[X(e^{\mathrm{j}\omega})] $$ \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 称为序列 \(x(n)\) 的频谱， \(|X(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为幅度谱， \(\varphi(\omega)\) 为相位谱。
由于 \(\omega\) 沿单位圆旋转， \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数。
时域是离散的，频域是连续的。
DTFT 存在的充分条件：序列 \(x(n)\) 绝对可和。必要条件至今未找到（ FT 也如此）
基本性质
- 线性。
- 时域位移。
- 频域位移。
- 线性加权，频域微分。
- 反褶。
- 奇偶虚实性，参照 FT。
- 时域卷积，频域卷积。
- 帕塞瓦尔定理：能量守恒。
- 共轭： \(x^*(n)\iff X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\) 。因此对于实函数： \(X(e^{\mathrm{j}\omega})=X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\)
10. 离散时间系统的频率响应
由系统函数 \(H(z)\) 到频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) ，回忆连续时间系统的系统函数 \(H(s)\) 到频率响应 \(H(j\omega)\) 。
连续时间系统的特征函数是 \(e^{st}=e^{\mathrm{j}\omega t}\) ，输入信号为 \(e^{\mathrm{j}\omega t}\) 的情况下输出信号为： $$ x(t)=e^{\mathrm{j}\omega t} \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|e^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} \ x(t)=\sin(\omega t) \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\sin(\omega t+\varphi) \ x(t)=\cos(\omega t) \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\cos(\omega t+\varphi) $$
离散时间系统的频响函数为： $$ H(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)e^{-\mathrm{j}\omega n} $$ 离散时间系统特征函数为： \(z^{n}=e^{\mathrm{j}\omega n}\) ，对复指数序列 / 正弦序列激励的稳态响应为： $$ x(n)=e^{\mathrm{j}\omega n} \implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}(\omega n+\varphi)} \ x(n)=\sin(n\omega) \implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\sin(n\omega+\varphi) $$
离散信号中频率 \(\omega\) 和 \(\omega+2k\pi\) 不可区分： \(\sin((\omega+2k\pi)n+\varphi)=\sin(\omega n+\varphi)\) 。
频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 和单位样值响应 \(h(n)\) 是一对 Fourier 变换对。
频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 为周期函数，周期为 \(\omega_s=\frac{2\pi}{T}\) 。
判定频率响应特性，只需关注一个周期 \((0,\omega_s)\) 内的情况。
如果为实系数， \(|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为偶函数， \(\varphi(\omega)\) 为奇函数，也只需要关注半个周期 \((0,\omega_s/2)\) 内的情况。0和 \(\omega_s\) 是最低频， \(\omega_s/2\) 是最高频，以此来判断
低通/高通/带通/带阻/全通的系统特性。
频率响应的几何确定法：
画图，长度乘除决定幅度特性，夹角加减决定相位特性。
幅度响应靠近极点处出现峰点，靠近零点处出现谷点。 \(z=0\) 处的零极点只影响相位响应，不影响幅度响应。
11. z 变换应用实例
数字式自激振荡器： $$ h(n)=\cos(n\omega)u(n) \ h(n)=\sin(n\omega)u(n) $$ 结构上改进：使用中间信号 \(W(z)\) 实现结构复用，系统可同时产生 sin 和 cos 信号。
数字滤波器：
原理：输入的连续信号 \(x(t)\) 频带受限 \(-\omega_m\sim\omega_m\) ，抽样间隔满足奈奎斯特抽样频率 \(\omega_s=\frac{2\pi}{T}\geqslant2\omega_m\) 。
冲激不变法设计数字滤波器（低通）：
根据 ZT 和 LT 的关系，由模拟域到数字域，直接改写式子： $$ H(s)=\mathscr{L}[h(t)]=\sum \frac{A_i}{s-p_i} \ \Downarrow \ H(z)=\mathscr{Z}[h(n)]=\sum \frac{A_i}{1-e^{p_iT}z^{-1}} $$ 要求频率响应 \(H(\mathrm{j}\omega)\) 在 \(0\sim \omega_s/2\) 内衰减足够快。
优点：简单，便于与模拟滤波器直接对应。
缺点：s 与 z 的多值对应关系可能引起混叠，不能用于设计高通和带阻滤波器。
第11章 反馈系统
闭环增益表达式，负反馈 \(\frac{A}{1+AF}\) ，正反馈 \(\frac{A}{1-AF}\) 。
深度负反馈 \(AF\gg1\implies H\approx\frac{1}{F}\)，环路增益仅由反馈系数决定。
负反馈的作用：
- 改善系统灵敏度。增益波动变小。
- 改善系统频响特性。可以使扩展带宽，降低增益，增益带宽积不变（~~又到了最喜欢的电电~~）。
- 逆系统设计。直接将原系统组成反馈系统： \(H_i(s)=\frac{1}{H(s)}\) 。
- 不稳定系统变稳定。可以把极点从右半平面移到左半平面。PID算法，比例、微分、积分反馈（~~又到了最喜欢的硬设~~）。
正反馈自激振荡， \(A(s)F(s)=1\) （模值为1，辐角2pi），临界稳定。
信号流图
流图转置
梅森公式
第12章 系统的状态变量分析
状态 / 状态变量 / 状态矢量：一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量，只需知道 \(t=t_0\) 时刻这组变量和 \(t\geqslant t_0\) 时刻以后的输入， 就能确定系统在 \(t\geqslant t_0\) 时刻以后的行为。
引入状态变量的目的：相当于使用中间变量表示输入输出，可以把一元 N 阶方程转换为 N 元一阶方程，每一阶都用状态变量表示，相邻阶的中间变量之间是一阶关系。
算子 \(p\) 是微分运算，算子 \(1/p\) 是积分运算。算子表达式就是关于积分和微分环节的组合。
1. 连续时间系统状态方程的建立
状态方程与输出方程分别为： $$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=\boldsymbol{A\lambda}(t)+\boldsymbol{Be}(t) \ \boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{C\lambda}(t)+\boldsymbol{De}(t) $$ 对于 LTI 系统 ABCD 矩阵是常数，而对于时变系统 ABCD 矩阵是时间的函数。
（看典型结构示意图）
由电路图建立（电路课重点，非本课重点）。
由系统输入输出方程或信号流图建立状态方程。对于与给定的系统，流图的形式可以不同，状态变量的选择不唯一， ABCD 矩阵也不唯一。
由算子表达式分解或系统函数建立状态方程。部分分式展开 \(H(p)=\sum\frac{\beta_i}{p+\alpha_i}\) ，由基本单元串联、并联、级联组装。
基本单元：
2. 连续时间系统状态方程的求解
Laplace 变换解法（较为容易）
写不动了，直接上图：
时域解法
写不动了，直接上图：
3. 根据状态方程求转移函数
写不动了，直接上图：
4. 离散时间系统状态方程的建立
同连续时间系统的形式，用差分代替微分。 $$ \boldsymbol{\lambda}(n+1)=\boldsymbol{A\lambda}(n)+\boldsymbol{Bx}(n) \ \boldsymbol{y}(n)=\boldsymbol{C\lambda}(n)+\boldsymbol{Dx}(n) $$ （看典型结构示意图）
由定义建立。
由框图或流图建立。
5. 离散时间系统状态方程的求解
时域迭代法求解
写不动了，直接上图：
z 变换求解
写不动了，直接上图：
6. 状态矢量的线性变换
选择不同的状态矢量可以得到不同的 ABCD 矩阵，各状态矢量之间存在某种约束，矩阵 ABCD 之间存在某种变换关系。
具体细节略。
判断系统的稳定性：
7. 系统的可控性和可观性
可控性 (Controllability)：给定起始状态，可以找到容许的输入量 (控制矢量)，在有限时间内把系统的所有状态引向零状态。如果可做到这点，则称系统完全可控。
可观性 (Observability)：给定输入 (控制) 后，能在有限时间内根据系统输出唯一地确定系统的起始状态。如果可做到这点，则称系统完全可观。
判别方法：
利用可控阵和可观阵判定：
A 矩阵规范化之后判别。（略）
可控可观与转移函数的关系：
留意一下串联、并联、级联可能发生零极点相消，导致系统不可控不稳定就行。
可能的考点分析和习题选讲
抽样信号分析。
相关函数计算。
能谱和功率谱。
匹配滤波器。
离散系统的特性分析：线性，时不变，因果，稳定。
卷积和，时域经典法解差分方程。
z 变换（单边和双边）。
逆 z 变换（除了常规方法还可以级数展开），注意收敛域和右边序列 / 左边序列 / 双边序列、单边 z 变换 / 双边 z 变换。（最好的分解方式不一定是最彻底的分解方式，要根据表格选择合适的分解形式）。
z 变换性质的应用。
单边 z 变换求解差分方程，注意边界条件。几种不同组合：齐次解 + 特解，零输入 + 零状态，瞬态响应（足够长时间后为衰减为0） + 稳态响应（常数值）。
求系统函数和单位样值响应。
根据系统结构框图写差分方程，或根据差分方程画系统结构框图。注意延时单元的含义。
冲激不变法设计数字滤波器。（形式化）
分析系统的特性和频率响应，系统函数的零极点分布图、收敛域、幅频响应曲线和相频响应曲线。
信号流图的化简。根据流图列写系统转移函数（梅森公式），或按照转移函数画流图。
状态方程与输出方程列写，判断系统的可控性和可观性。
对于一个离散的 LTI 系统，如果因果稳定，显然所有极点位于单位圆之内，
如果所有零点也位于单位圆之内，称为最小相移系统；所有零点位于单位圆之外，称为最大相移系统。
类似与连续情况下全通系统的零极点关于虚轴对称分布，离散情况下全通系统的零点与极点关于单位圆“对称”分布，极点位于单位圆内，零点位于单位圆外，这里的对称指的是零点对应矢量模长与极点对应矢量模长之积为1，比如零点 \(re^{\mathrm{j}\theta}\implies\) 极点 \(\frac{1}{r}e^{\mathrm{j}\theta}\) 。
因此我们可以进行如下转换（与极点相关的分母我们不关心）： $$ H(z)=A\frac{z^2+az+b}{\cdots}\implies A\frac{z^2+\frac{1}{a}z+\frac{1}{b}}{\cdots} $$
目录：